От себя могу порекомендовать Сyprus Рopular Вank
http://www.cypruspopularbank.com/home.htm
Довольно крупный даже по мировым меркам. Вполне надежный (в принципе на Кипре не надежных нет вообще, разве что филиалы наших ;))
Есть возможность управления через интернет называется "Laiki online" ссылку найдете на сайте.
Счет открыть лучше через местного адвоката их много и проблем с их поиском у вас не будет. Адвокату придется заплатить $$200-400 но это избавит вас от бумажной возни и длительного ожидания. Останется только поставить свою подпись.
В качестве удостоверения подойдет Российский паспорт. Не забудте указать адвокату про документы для онлайнового управления счетом.
Что касается налогов и отчетов то вас как нерезидента Кипра эта проблема не касается.
Если вы имеете ввиду Российские органы то это ваше интимное дело. Что касается впечатления от работы с банком. В общем все устраивает, но иногда порядком раздражает их медлительность. Никто в авральном порядке ваши платежи не будет отправлять за пять минут до окончания операционного дня. Будут извинения улыбки, но сделают все равно по своему. Что касается филиалов крупных международных банков то с этим проблема. Из тех что я знаю есть только Коммерческий Банк Греции, Арабиан банк и английский Barclay, видимо в наследство остался. Скорее всего это связано с местным банковским законодательством.